理發(fā)師悖論引發(fā)第三次數學危機

十九世紀下半葉，德國數學家康托爾創(chuàng)立了著名的集合論，在集合論剛產生時，曾遭到許多人的猛烈攻擊。但不久這一開創(chuàng)性成果就為廣大數學家所接受了，并且獲得廣泛而高度的贊譽。數學家們發(fā)現，從自然數與康托爾集合論出發(fā)可建立起整個數學大廈。因而集合論成為現代數學的基石。“一切數學成果可建立在集合論基礎上”這一發(fā)現使數學家們?yōu)橹兆怼?/p>

1903年，一個震驚數學界的消息傳出：集合論是有漏洞的。這就是英國數學家羅素提出的著名的羅素悖論。羅素的這條悖論使集合論產生了危機。它非常淺顯易懂，而且所涉及的只是集合論中最基本的東西。所以，羅素悖論一提出就在當時的數學界與邏輯學界內引起了極大震動。

德國的著名邏輯學家弗雷格在他的關于集合的基礎理論完稿付印時，收到了羅素關于這一悖論的信。他立刻發(fā)現，自己忙了很久得出的一系列結果卻被這條悖論攪得一團糟。他只能在自己著作的末尾寫道：“一個科學家所碰到的最倒霉的事，莫過于是在他的工作即將完成時卻發(fā)現所干的工作的基礎崩潰了。”

公理化集合論的建立，成功排除了集合論中出現的悖論，從而比較圓滿地解決了第三次數學危機。但在另一方面，羅素悖論對數學而言有著更為深刻的影響。它使得數學基礎問題第一次以最迫切的需要的姿態(tài)擺到數學家面前，導致了數學家對數學基礎的研究。而這方面的進一步發(fā)展又極其深刻地影響了整個數學。如圍繞著數學基礎之爭，形成了現代數學史上著名的三大數學流派，而各派的工作又都促進了數學的大發(fā)展。